34장-영상

구면거울의 공식 증명 $\frac{1}{P} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r}$

 

우선 그림을 그려보면

이고 여기서 $\alpha + \theta + (180 - \beta$) = 180  => $\alpha + \theta = \beta$ 인 걸 알 수 있다. 

그리고 같은 원리로 $\beta + \theta + (180 - \gamma$ => $\beta + \theta = \gamma$ 이다.

밑에식과 위에식 빼주면 $\alpha + \gamma = 2\beta$ 가 된다.

여기서 각도들이 전부다 매우작다고 가정하면 $\theta = \sin \theta = \tan \theta$이므로 

$\tan \alpha + \tan \gamma = 2\tan \beta$ 가 되고, 

(\frac{h}{P} + \frac{h}{i} = \frac{2h}{r} 가 된다. 여기서 h를 약분해주면

(\frac{1}{P} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r}) 을 증명 할 수 있게 된다.

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굴절구면에서 $\frac{n_1}{P} + \frac{n_2}{i}$ = $(n_2-n_1$)$\frac{1}{r}$ 을 증명 해보겠다.

우선 $n_1>n_2 이고, \alpha + \beta +(180 - \theta_1$) = 180 인걸 알수있고,

$n_2쪽을 보면 \gamma + \theta_2 +(180 - \beta$) = 180 인게 보인다. 

즉 $\alpha + \beta = \theta_1 ,  \theta_2 = \beta- \gamma$ 이 두식이 나온다.

여기서 스넬의 법치겡 의해 $n_1\sin \theta_1 = n_2\sin \theta_2$ 인데 여기서 각도들이 매우 작다하면

$n_1\sin \theta_1 = n_1 \theta_1 , n_2\sin \theta_2 = n_2\theta_2$ 이므로 $n_1\theta_1 = n_2\theta_2$

이제 위에서 구한 $\theta$들을 식들에 넣어주면 $n_1(\alpha + \beta$) = $n_2(\beta - \gamma$)

$n_1\alpha + n_2\gamma$ = $(n_2 - n_1$)$\beta$이며 각도들이 매우작다 했으니

$n_1\tan \alpha + n_2\tan \gamma$ = $(n_2-n_1$)$\tan \beta$이렇게 나타낼수있고

$\frac{n_1h}{P} + \frac{n_2h}{i} = \frac{(n_2-n_1)h}{r}$ h를 약분하면

$\frac{n_1}{P} + \frac{n_2}{i}$ = $(n_2-n_1$)$\frac{1}{r}$ 이 증명 된다.