33장-전자기파

전자기파 $E = E_msin(kx-wt$) , $B = B_m sin(kx-wt$) 이렇게 나타낼수 있다.

그리고 맥스웰 4가지 법칙중에 페러데이 법칙에 의해

$\oint E \cdot ds = \frac{d\Phi_B}{dt}$ 임을 알수있고,

그림에서 볼수 있듯이 전기장 E를 선적분을 하면 

1번에서 전기장이 y성분으로 움직이니 $\int_{a}^{b} \vec{E} d\vec{y} = (E+dE$)h

2번에서는 -x방향으로 전기장 성분이 없으니 0이다.

3번에서는 -y성분으로 가니 $\int_{c}^{d} \vec{E} d\vec{y} = -Eh$

4번에는 +x방향으로 전기장 성분이 없으니 0이다.

즉 1+2+3+4 = $dEh$이다.

 

즉 $\oint E \cdot ds = \frac{d\Phi_B}{dt} = dEh$ 이고,

여기서 $\frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{dB}{dt}A = \frac{dB}{dt}hdx = dEh$ 이고 정리하면

$\frac{dB}{dt} = -\frac{dE}{dx}$ 임을 알수있다.

 

위에서 $E = E_msin(kx-wt$) , $B = B_m sin(kx-wt$) 을 가져와서 E를 

$\frac{dB}{dt} = -\frac{dE}{dt}$ 해주면 $B_mw =E_mk$가 된다.

$E_m = \frac{w}{k}B_m$ -> $E_m = cB_m$ 이다.

 

이제 반대로 자기장을 살펴보면

 앙페르 법칙에 의해 $\oint{d\vec B}{\cdot d\vec s} =\mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt}$

1번을 보면 -z축으로 가니 $\int{\vec B}{\cdot d\vec s}$ = $-(B +dB$)h

2번을 보면 자기장이 +x방향으로 성분이 없으니 0

3번은 +z축으로 자기장성분이 있으니 $\int{\vec B}{\cdot d\vec s}$ = Bh

4번은 -x방향으로 자기장성분이 없으니 0이다. 

1+2+3+4 = -dBh인걸 알수있다.

 

앙페르 법칙에 의해 $\oint{d\vec B}{d\vec s}$ = $\frac{d\Phi_E}{dt} = -dBh$ 이다.

여기서 $\frac{d\Phi_E}{dt}$ = $\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dt}A = \frac{dE}{dt}hdx$ 로 나타낼수있어서

결론은 $-dBh = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt}hdx -> -\frac{dB}{dx} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt}$

$E = E_msin(kx-wt$) , $B = B_m sin(kx-wt$) 이니깐

$\frac{E_m}{B_m} = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 w} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 c}$ 가 된다.

아까 위에서 페러데이 법칙을 이용해  $E_m = cB_m$ 을 알고 있다. 즉 $\frac{E_m}{B_m} =c$

이며 $\frac{E_m}{B_m}$ = c = $\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 c}$이므로 $c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0}$ 인걸 알수있다.

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$c^2\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}$ =  $\frac{\partial^2 E}{\partial^2 t}$

$\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}$ = $c^2 \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}$ 를 유도해보겠다.

 

위에서 페러데이 법칙에 의해 1번식- $\frac{\partial E}{\partial x}$ = $-\frac{\partial B}{\partial t}$ 유도 했고,

앙페르 법칙에 의해 2번식 - $\frac{\partial B}{\partial x}$ = $-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t}$

 

여기서 1번식에다가 $\frac{\partial}{\partial x}$ 해주고, 2번식에다가 $\frac{\partial}{\partial t}$ 해주면

 

$\frac{\partial^2 B}{\partial x \partial t}$  = $-\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}$

$\frac{\partial^2 B}{\partial t \partial x}$ = $-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial^2 t}$

 

간단하게 $\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}$ =  $\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial^2 t}$ 인걸 알수있다.

 

이번에는 1번식에다가 $\frac{\partial}{\partial t}$ , 2번식에다가 $\frac{\partial}{\partial x}$ 해주면

$\frac{\partial^2 E}{\partial t\partial x}$ = $-\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}$

$\frac{\partial^2 E}{\partial t\partial x}$ = $-\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}$

 

$\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}$ = $\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}$

 

$c^2\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}$ =  $\frac{\partial^2 E}{\partial^2 t}$

$\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}$ = $c^2 \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}$ 임을 알수있다.