33장-전자기파

전자기파 (E = E_msin(kx-wt)) , (B = B_m sin(kx-wt)) 이렇게 나타낼수 있다.

그리고 맥스웰 4가지 법칙중에 페러데이 법칙에 의해

(\oint E \cdot ds = \frac{d\Phi_B}{dt}) 임을 알수있고,

그림에서 볼수 있듯이 전기장 E를 선적분을 하면 

1번에서 전기장이 y성분으로 움직이니 (\int_{a}^{b} \vec{E} d\vec{y} = (E+dE))h

2번에서는 -x방향으로 전기장 성분이 없으니 0이다.

3번에서는 -y성분으로 가니 (\int_{c}^{d} \vec{E} d\vec{y} = -Eh)

4번에는 +x방향으로 전기장 성분이 없으니 0이다.

즉 1+2+3+4 = (dEh)이다.

 

즉 (\oint E \cdot ds = \frac{d\Phi_B}{dt} = dEh) 이고,

여기서 ( \frac{d\Phi_B}{dt} = \frac{dB}{dt}A = \frac{dB}{dt}hdx = dEh) 이고 정리하면

(\frac{dB}{dt} = -\frac{dE}{dx}) 임을 알수있다.

 

위에서 (E = E_msin(kx-wt)) , (B = B_m sin(kx-wt)) 을 가져와서 E를 

(\frac{dB}{dt} = -\frac{dE}{dt}) 해주면 (B_mw =E_mk)가 된다.

(E_m = \frac{w}{k}B_m) -> (E_m = cB_m) 이다.

 

이제 반대로 자기장을 살펴보면

 앙페르 법칙에 의해 (\oint{d\vec B}{\cdot d\vec s} =\mu_0 \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})

1번을 보면 -z축으로 가니 (\int{\vec B}{\cdot d\vec s}) = (-(B +dB))h

2번을 보면 자기장이 +x방향으로 성분이 없으니 0

3번은 +z축으로 자기장성분이 있으니 (\int{\vec B}{\cdot d\vec s}) = Bh

4번은 -x방향으로 자기장성분이 없으니 0이다. 

1+2+3+4 = -dBh인걸 알수있다.

 

앙페르 법칙에 의해 (\oint{d\vec B}{d\vec s}) = (\frac{d\Phi_E}{dt} = -dBh) 이다.

여기서 (\frac{d\Phi_E}{dt}) = (\frac{dE}{dt}=\frac{dE}{dt}A = \frac{dE}{dt}hdx) 로 나타낼수있어서

결론은 (-dBh = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt}hdx -> -\frac{dB}{dx} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{dE}{dt})

(E = E_msin(kx-wt)) , (B = B_m sin(kx-wt)) 이니깐

(\frac{E_m}{B_m} = \frac{k}{\mu_0 \epsilon_0 w} = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 c}) 가 된다.

아까 위에서 페러데이 법칙을 이용해  (E_m = cB_m) 을 알고 있다. 즉 (\frac{E_m}{B_m} =c)

이며 (\frac{E_m}{B_m}) = c = (\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0 c})이므로 (c^2 = \frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} ) 인걸 알수있다.

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(c^2\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}) =  (\frac{\partial^2 E}{\partial^2 t})

(\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}) = ( c^2 \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}) 를 유도해보겠다.

 

위에서 페러데이 법칙에 의해 1번식- (\frac{\partial E}{\partial x}) = (-\frac{\partial B}{\partial t}) 유도 했고,

앙페르 법칙에 의해 2번식 - (\frac{\partial B}{\partial x}) = (-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E}{\partial t})

 

여기서 1번식에다가 (\frac{\partial}{\partial x}) 해주고, 2번식에다가 (\frac{\partial}{\partial t}) 해주면

 

(\frac{\partial^2 B}{\partial x \partial t})  = (-\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x})

(\frac{\partial^2 B}{\partial t \partial x}) = (-\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial^2 t})

 

간단하게 (\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}) =  (\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E}{\partial^2 t}) 인걸 알수있다.

 

이번에는 1번식에다가 (\frac{\partial}{\partial t}) , 2번식에다가 (\frac{\partial}{\partial x}) 해주면

(\frac{\partial^2 E}{\partial t\partial x}) = (-\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t})

(\frac{\partial^2 E}{\partial t\partial x}) = (-\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x})

 

(\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}) = (\frac{1}{\mu_0 \epsilon_0} \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x})

 

(c^2\frac{\partial^2 E}{\partial^2 x}) =  (\frac{\partial^2 E}{\partial^2 t})

(\frac{\partial^2 B}{\partial^2 t}) = (c^2 \frac{\partial^2 B}{\partial^2 x}) 임을 알수있다.