파울스 해석역학-2

자유낙하

왼쪽그림은 중력을 받으면서 위로 올라가는 그림

F = -mg = (-dV \over dx) 이고, E = (\frac{mv^2}{2} + mgx)

E = (\frac{mv_0^2}{2} = \frac{mv^2}{2} +mgx)

(v^2 = v_0^2 -2gx)

최고점에 다다르먼 v=0 이 된다. 즉 (x_{max} = \frac{v_0^2}{2g})

 

 

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중력가속도

F는 -G(\frac{mM}{r^2})이렇게 정의된다. 여기서 지구표면에서 중력가속도가 대략 9.81 인걸 증명해보자면 

F = ma = -G(\frac{mM}{r^2}) -> a = -G(\frac{M_{지구무게}}{r_{지구반지름}})= 대략 9.81여기서 G =중력상수이다.

 

지구표면이 아닌 지구 밖에서 중력가속도 g' --> (mg' = \frac{GMm}{(r_e + x)^2})이다. 

(GMm = mgr_e^2 )= (mg'{(r_e+x)^2}) ==> (g' = \frac{gr_e^2}{(r_e+x)^2}) 이렇게 나타 낼 수 있다.  

( mg' = m\ddot{x} = m\frac{vdv}{dx})

즉 (mvdv = -\frac{mgr_e^2}{(r_e+x)^2}dx => \int_{v_0}^{v}mvdv =-\int_{x_0}^{x}\frac{mgr_e^2}{(r_e + x)^2})

(\frac{mv^2}{2} = mgr_e^2{(\frac{1}{r_e+x} - \frac{1}{r_e+x_0})}) 

지구 탈출속도 (v_e = \sqrt{2gr_e}) 유도 

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선형저항일때 와 (c_1v) , quadratic({(c_2v^2)}) 저항일때 속력과 거리를 알아보자.

 

i) 선형저항일때

(F = m\ddot x =-c_1v => md\dot v =-c_1v dt  => \int_{v_0}^{v}\frac{1}{v}dv = -\int_{0}^{t}\frac{c_1}{m}dt)

(= ln\frac{v}{v_0} = \frac{c_1t}{m} => v= v_0e^{\frac{-c_1t}{m}} => v = \frac{dx}{dt} = v_0e^{\frac{-c_1t}{m}})

(\int_{x}^{x_0} dx  = \int_{0}^{t}e^{\frac{-c_1t}{m}} = x -x_0 = \frac{mv_0}{c_1}{(1-e^\frac{-c_1t}{m})})

 

ii) 2차저항일때

(F = m\ddot x =-c_2v^2 => md\dot v =-c_2v^2 dt  => \int_{v_0}^{v}\frac{1}{v^2} dv =  \int_{0}^{t}\frac{-c_2}{m}dt)

(\frac{1}{v}-\frac{1}{v_0} = \frac{c_2t}{m} => v= \frac{mv_0}{m+c_2v_0t} = \frac{v_0}{1+ \frac{c_2v_0t}{m}})

여기서 {(\frac{c_2v_0}{m} = k라 두면)} v = \frac{v_0}{1+kt} => v= \frac{dx}{dt} 이니깐)

(\int_{x}^{x_0}dx = \int_{0}^{t}\frac{v_0}{1+kt}dt = x-x_0 = \frac{v_0}{k} ln{(1+kt)})