구면거울의 공식 증명 (\frac{1}{P} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r})
우선 그림을 그려보면
이고 여기서 (\alpha + \theta + (180 - \beta)) = 180 => (\alpha + \theta = \beta) 인 걸 알 수 있다.
그리고 같은 원리로 (\beta + \theta + (180 - \gamma) => (\beta + \theta = \gamma) 이다.
밑에식과 위에식 빼주면 (\alpha + \gamma = 2\beta) 가 된다.
여기서 각도들이 전부다 매우작다고 가정하면 (\theta = \sin \theta = \tan \theta)이므로
(\tan \alpha + \tan \gamma = 2\tan \beta) 가 되고,
(\frac{h}{P} + \frac{h}{i} = \frac{2h}{r} 가 된다. 여기서 h를 약분해주면
(\frac{1}{P} + \frac{1}{i} = \frac{1}{f} = \frac{2}{r}) 을 증명 할 수 있게 된다.
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굴절구면에서 (\frac{n_1}{P} + \frac{n_2}{i}) = ((n_2-n_1))(\frac{1}{r}) 을 증명 해보겠다.
우선 (n_1>n_2 이고, \alpha + \beta +(180 - \theta_1)) = 180 인걸 알수있고,
(n_2쪽을 보면 \gamma + \theta_2 +(180 - \beta)) = 180 인게 보인다.
즉 (\alpha + \beta = \theta_1 , \theta_2 = \beta- \gamma) 이 두식이 나온다.
여기서 스넬의 법치겡 의해 (n_1\sin \theta_1 = n_2\sin \theta_2) 인데 여기서 각도들이 매우 작다하면
(n_1\sin \theta_1 = n_1 \theta_1 , n_2\sin \theta_2 = n_2\theta_2) 이므로 (n_1\theta_1 = n_2\theta_2)
이제 위에서 구한 (\theta)들을 식들에 넣어주면 (n_1(\alpha + \beta)) = (n_2(\beta - \gamma))
(n_1\alpha + n_2\gamma) = ((n_2 - n_1))(\beta)이며 각도들이 매우작다 했으니
(n_1\tan \alpha + n_2\tan \gamma) = ((n_2-n_1))(\tan \beta)이렇게 나타낼수있고
(\frac{n_1h}{P} + \frac{n_2h}{i} = \frac{(n_2-n_1)h}{r} ) h를 약분하면
(\frac{n_1}{P} + \frac{n_2}{i}) = ((n_2-n_1))(\frac{1}{r}) 이 증명 된다.